Terbitan teorem al-Kashi (Petua kosinus)

Dalam trigonometri, petua kosinus juga dikenali sebagai formula kosinus, hukum kosinus, atau teorem al-Kashi. Petua kosinus ini adalah berkaitan dengan hubungan diantara panjang sisi segitiga dengan kosinus salah satu sudutnya. Teorem ini muncul apabila timbul isu yang berbunyi, "jika kita hanya diberi tiga sisi segitiga bagaimana kita mampu mencari semua sudut tersebut?".

Pada abad ke-15, isu ini telah diselesaikan apabila seorang ahli matematik parsi, Jamshid al-Kashi, beliau membentangkan Petua Kosinus dalam bentuk yang sesuai untuk trigonometri. Petua ini juga selalu digunakan untuk mencari sudut bagi segitiga serong (segitiga bukan tegak).

Kita boleh menggunakan petua kosinus untuk mencari tiga sudut segitiga yang tidak diketahui jika kita ada tiga sisi panjang segi tiga yang diketahui. Contohnya seperti rajah di bawah,

Jika kita perlu mencari sudut, kita menggunakan petua kosinus bentuk,

$$\cos{A}=\frac{(b^2 + c^2 – a^2)}{2bc}$$

$$\cos{B}=\frac{(a^2 + c^2– b^2)}{2ac}$$

$$\cos{C}=\frac{(a^2 + b^2– c^2)}{2ab}$$

Kita juga boleh menggunakan petua kosinus untuk mencari panjang sisi ketiga (segitiga) jika kita tahu dua panjang sisi dan sudut diantaranya. Sebagai contoh,

Jika kita hendak mencari panjang sisi segitiga, kita menggunakan petua kosinus dalam bentuk,

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$$

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}$$

$$c^2=a^2+b^2-2bc\cos{C}$$

Maka persoalannya, bagaimana terbitnya formula ini? Petua kosinus boleh dibuktikan dengan membentuk segitiga tegak. Dalam kes ini, lakarkan garis serenjang dari titik A ke titik K pada sisi CB.

Dengan menggunakan teorem Pythagoras dalam segitiga bersudut tepat AKC, kita akan dapat,

$$b^2 = h^2 + (a-x)^2$$

Kembangkan,

$$b^2 = h^2 + (a^2-2xa+x^2)$$

Manakala segitiga bersudut tepat AKB pula,

$$c^2 = h^2 + x^2$$

Dan kita susun ia menjadi,

$$x^2=c^2-h^2$$

Dalam segi tiga AKB pula, sudut kosinus B diberikan oleh,

$$\cos B=\frac{x}{c}$$

$$x=c\cos B$$

Setelah itu kita masukkan persamaan sudut kosinus B (mengantikan \(x\)) dan segitiga bersudut tepat AKB (mengantikan \(x^2\)) ke dalam persamaan segitiga bersudut tepat AKC,

$$b^2 = h^2 + (a^2-2(c\cos B)a+(c^2-h^2))$$

Kita susun persamaan ini dan akan peroleh,

$$b^2 = a^2+c^2-2ac\cos B$$

iaitu petua kosinus. Maka dengan persamaan ini kita boleh mencari sudut B dengan mendapatkan panjang sisi a, b, dan c. Jika lihat pada langkah mula terbitan ini, kita juga boleh lakarkan garis serenjang pada C ataupun B untuk mendapatkan sudut-sudut yang lain.